附录一 《墨经》对科学的贡献 第三节 墨学对数学的贡献

墨子是伟大的逻辑学家。它一方面借用逻辑研究数学,同时也借用数学研究逻辑。墨子的数学成就包括基本概念和几何学的内容。现举例说明:

(1)整体与部分的关系

《经上》:“体,分于兼也。”

《经说上》:“体,若二之一,尺之端也。”

经文:兼是全体,体是部分。

经说:体与兼的关系,很像二与一的关系,又很像尺与端的关系。在墨子的数学理论中,尺是几何学的线,端是几何学的点。因此,如果把尺比作兼,端正好比作点。如以二与一相比,二是兼,一是体。即二为一之兼,一兼为二之体。尺为端之鉴,端为尺之体。

(2)平行线

《经上》:“平,同高也。”


图19

《经说上》:“谓台执者也,若兄弟。”

这一条讲两线平行的原理。如果AB与FG平行,EK、CD是两条平行线的垂线,则CD=EK。

(3)解释径同长

《经上》:“同长,以相尽也。”

《经说上》:“同,捷与狂之同长也。”

这一条是说,穿过圆心的径线是同长的,犹如门楗与门框同长。图20的直径AB=CD。


图20

(4)圆的定义

《经上》:“圆,一中,同长也。”

《经说上》:“心中,自是往,相若也。”

心中即中心。圆的中心即圆心。“自是往”即自中心往,就是半径之长。“相若”即相等,半径等长。图21说明从O到A、B是等长,即“中,同长也”。《经上》和《经说上》的内容,既是圆的定义,也是作圆的方法,简单、明了、适用。


图21

(5)方形(不限于正方形)

《经上》:“厚,有所大也。”

《经说上》:“厚,惟无所大。”

图22是一个长方体。ABCD是一个平面BF是厚,也是高。有了厚,才有体积,所以说:“厚,有所大也。”。


图22

如果只讲A、B、C、D,它只有平面,没有厚,因而只有面积,没有体积。所以说:“厚,惟无所大。”《庄子·天下》说:“无厚不可积也”,就是这个道理。

(6)圆三径一

《经上》:“直,参也。”

《经说上》:无。

这一条无经说。对它有两种可能的解释:

一是认为墨家关于圆三径一的界说。故“直”前应有圆字。全文应是“圆,直参也”。或与“圆,一中同长也”合成一条。中国古代“参”的用法不同于三,而是三分之一。

二是认为它不是欧几里得原理,这不是用“两点之间最短的路径”,为直线作解释。而是用“三点排列”,视线重合作直线定义……这样的解释,以视线为直线。这不是数学的解释,而是物理的解释。

(7)圆的作法

《经上》:“圆,一中同长也。”

《经说上》:“圆,规写交也。”交,原误作攴。

如图23中,AB、CD都是直径,圆心是O,以O为圆心,就可以做出圆的图形。


图23

(8)方形的作法

《经上》:“方柱隅四讙〔huan欢〕也。”

《经说上》:“方,矩写交也。”

这个图形(图24)可以用矩画出来。这就是“矩写交也”。但画出的图形不一定是正方形。


图24

AB、BC、CD、DA是四柱。∠A、∠B、∠C、∠D是直角。此图即是“柱隅四讙”。

(9)倍数

《经上》:“倍为二也。”

《经说上》:“倍,二尺与尺,但去一。”

这个命题是说:倍是一的自加。二尺与一尺,只不过是二尺减去一而已。

(10)点

《经上》:“端,体之无序而最前者也。”

《经说上》:“端,是无同也。”

端是几何学上的点,是线的顶端,所以说,端是“体之无序而最前者也”。又因它的前方更无其他,它处于最前,所以“是无同也”。它既在“最前”,就不参与排列的顺序,所以说“无序”。端,应理解为最前点。

(11)中

《经上》:“有间,中也。”

《经说上》:“有闻,谓夹之者也。”

这一条说明有间是有中的,像门框一样,夹着中有二间。


图25

A、B、C三者各为一间。甲、乙为中,中的两侧是间。甲是中,AB是间,夹着中。

(12)间

《经上》:“间,不及旁也。”

《经说上》:“间,谓夹者也。尺前于区穴,而后于端,不夹于端与区穴,及,及非齐之及也。”

本条是说,间不涉及两旁,间就是离中的夹者,像几何学的线,独立存在,不夹在点和面之内(及,不是齐等之齐)。

(13)(纟卢)〔lu卢〕

《经上》:“(纟卢),间虚也。”

解一:《经说上》:“(纟卢),间虚也者。两木之间,谓其无木者也。”这里是线缝,是虚的。(纟卢),无厚之面。间虚,说只有长、广而无厚,是间之虚。

解二:是二间之中的虚线。虚是两木之间,无木的夹缝。

(14)盈

《经上》:“盈,莫不有也。”

《经说上》:“盈,无盈无厚。”

盈,器满则盈。故说“莫不有”。尽,器中空。器空则尽,故说“莫不然”。厚,有长、宽、高的立体。莫不有,即长、宽、高俱备。盈,充实弥满,无所不有。“无盈”当于无厚处求之。无厚者至小无内。

(15)撄

《经上》:“撄,相得也。”

《经说上》:“撄,尺与尺俱不尽,端与端俱尽,尺与(端)或尽或不尽,坚白之撄相尽,体撄不相尽。”

撄,体积的增加。增加后成为新的体积,所以说“体盈不相尽”。尽,即一致。线与线长短不一,故曰“不尽”。点与点没什么不同,故曰“为尽”。至于点与线,因线由点组成,就点而论,它有尽,就线而论,就不尽。

(16)仳〔pi匹〕

《经上》:“仳,以有相撄。”

《经说上》:“仳,两有端而后可。”

解一:仳,并,比。几何学的割线。相撄,即相交。一体分割为二,成为两体。它与割线相交,是为相撄。如果两体已经分离,就是不相撄。说“仳,有两端而后可”,是割线的界说。

解二:仳,比的繁文。以,和谓同义。从有两端看,是比较线段的长短。

撄是黏合。比较线段的长短有黏合与不黏合两种。图26甲,A线短,B线长。把A线放在B线之上,AB即是长出之数。这是黏合。图26乙,用圆规,以DA为半径,在BD线测量,使AD、CD都等于A线长,这时A、B线不黏合。


图26

解三:《经上》:“似,有以相撄,有不相撄也。”

《经说上》:“似,两有端而后可。”

似,应作仳。有,应作目。似,即几何学的相似形。相似形有相撄不相撄两种。

图27,△AOB、AOC都相似,而又相撄。各边都可叠合。但△ABC与△AOB和△AOC只相似,不相撄,因不能重合。比较相似,必须有两个条件相等,所以说“故两目端而后可”。


图27

∠A为直角。AB=AC,AO是从A至BC的垂线,O是圆心,AO、OB、OC是半径。

(17)次

《经上》:“次,无间而不相撄也。”

《经说上》:“次,无厚而后可。”

解一:次,即几何学所谓相切。撄,即几何学所谓相交。相交,即属割线。二体相切时,其中没有间隔,也不相交。所以说“次,无间而不相撄也”。“无厚而后可”,也是切线。切线与圆相交,只有一个切点。


图28

CB线是圆的切线,切点是A,A无厚。BC线与圆无间。

解二:《经上》:“次无闻而不撄撄也。”

《经说上》:“次无厚而厚可。”

这里,撄撄当作相撄。

这是哲学解释,而不是几何学解释。要点是:相次无间而不相撄,只有宇宙符合这一条件。宙弥异时,宇弥异所。无所不在,方为无间。宇宙至小无内,至大无外,故以厚拟之。厚与无厚通而为一。

“有厚、无厚”是战国时的一个辩题。《荀子·修身》也说:“有厚无厚之察。”所以有厚无厚联用,不必改。

(18)儇

《经上》:“儇、(禾具)、祗。”

《经说上》:“儇、昫、民也。”

解一:如29图中,柢是切线与圆相切之点。圆的一周都可作切点,所以说“俱柢”,儇即圆。轮转一周即为一环。


图29

解二:儇、(禾具)、秪当为环□柢。在《经说》中(禾具)作□,柢作民,当作氐,即柢,本也。氏与本义同。至于环之为物,旋转而专耑,若互相为本,故曰“俱柢”。

墨子及其后学,长于理论,扎根实践,讲求实效。在数学、力学、光学之外,他们对于声学、机械、土木等方面也具有不可磨灭的贡献。比如具有起重作用的桔槔,发射巨箭的连弩车,投掷武器和炭火的转射机,监听敌人动静的罂听,都是当时的重要发明。当前,对于墨子及其后学的实际贡献,还知之不多,有待进一步研究和发掘。